CAHIER DE VACANCES  N 1

Il comprend 5 feuilles d’exercices suivie d’éléments de correction (à ne regarder qu’après une étude détaillée des questions.  Il est préconisé de découper au fur et à mesure les énoncés, les coller sur un cahier ou des feuilles et les faire. ;Vous pouvez vous aider du cours et des exercices qui ont été faits durant l’année.
BONNES VACANCES SUR LA PLAGE MATHS

Exercice 1      Le plan (P) est muni du repère orthonormal.
		   1°)a) Déterminer une fonction trinôme du 2nd degré f  telle que f(2)=2 , f(4)=4 , et f ‘(4)=0
		        b) Etudier les variations de f et construire la courbe C représentative de f pour x[0;8]
2°)a) Déterminer une fonction trinôme du 2nd degré g telle que la droite (D) d’équation soit 
         tangente à C’ courbe représentative de g au point d’abscisse 1 et telle que g(2)=2.
     b) Etudier les variations de g et construire C’ pour x[0;8].

3°) Etudier la position de C par rapport à C’.

Exercice 2      f étant la fonction définie par . On appelle C sa courbe représentative dans un plan 
   	      muni d’un repère orthonormal .
	1°) Etudier le sens de variation de f et construire C.
	2°) m désigne un paramètre réel. a) Quel est , selon les valeurs de m, le nombre de solutions de l’équation                     f(x)=m ? (A faire de deux façons : graphiquement et par le calcul)
	    b) Pour quelles valeurs de m l’équation f(x)=m a-t-elle 2 solutions distinctes x’ et x’’ telles que x’<0<x’’ ?
	3°) m désignant toujours un paramètre réel, on considère la droite passant par le point A( ;0) et de coefficient directeur  m. Etudier, selon les valeurs de m, le nombre de points d’intersection de Cet .Pour quelles valeurs et  de m la droite coupe-t-elle C en un seul point ? Déterminer les abscisses et de ces points. Vérifier que et sont tangentes à C.

Exercice 3	Soit f la fonction définie de  dans  par 
1°) Etudier le sens de variation de f  et construire C, courbe représentative de f dans un plan muni d’un repère orthonormal .
	2°) Soit le point de C d’abscisse 0. a) Donner une équation de la tangente T à C en .
	     b) Etudier la position de C par rapport à T. c) Montrer que  est centre de symétrie de C.
	3°) Construire la parabole P d’équation et étudier PC.
Exercice 4  Soit l’application f de  dans  définie par .
a)	Etudier les limites de f en +et -. Montrer que la courbe C, représentative de la fonction f admet pour asymptotes les droites d’équation y=0 en +  et  y=-2x en -.
b)	Etudier les variations de f.
c)	Déterminer une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 1.
d)    Tracer les asymptotes, C et T dans un repère orthonormal .
Exercice 5  Soit f la fonction définie sur -1 ;0 par  et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal .
	1°) Déterminer les réels a, b, c tels que pour tous réels x-1 ;0 on ait .
	2°) Montrer que la droite  d’équation  est axe de symétrie pour C.
	3°) Etudier la fonction f (variations et limites) et tracer C.
	4°) On considère la suite définie pour tout entier n non-nul, par .
	    a) calculer .    b) Déterminer .

Feuille 1

Exercice 1  Soit f la fonction définie sur  par et g la fonction définie sur [-2 ;+[ par .
	 Déterminer gof et fog ainsi que leur ensemble de définition.

Exercice 2  Soit 
a)	Etudier les variations de f.  b) Montrer que la droite  d’équation y = x – 3 est asymptote oblique à C courbe représentative de f . c) Tracer C et ses asymptotes.

Exercice 3  Etant donné un triangle (ABC), construire les points I, J et K définis par I est le barycentre de (A,2) et (C,1) ;
	J est le barycentre de (A,1) et (B,2) ; K est le barycentre de (C,1) et (B,-4).
	1°) Montrer que B est le barycentre de (K,3) et (C,1)
	2°) Quel est le barycentre de (A ,2) (K,3) et (C,1) ?
	3°) Déduire du 2°) que I , J et K sont alignés et que J est le milieu de [IK].
	4°) L étant le milieu de [CI] et M le milieu de [KC], montrer que (IJML) est un parallélogramme dont le centre G est l’isobarycentre des points A B et C.

Exercice 4  Soient A et B deux points distincts. I est le milieu de [AB], M est un point du plan et H le projeté orthogonal de M sur (AB).
	1°)a) montrer que      b) Montrer que 
	2°) Soit (ABC) un triangle de côtés a b et c. On désigne par  les longueurs des médianes issues de A B et C .  Montrer que . 

Exercice 5  On considère la famille de courbes dont une équation est où m est un réel.
	1°)  Construire et .   2°) Montrer que toutes les courbes   sont ou bien des cercles ou bien l’ensemble vide . 3°) Dans le cas où les courbes sont des cercles , déterminer l’ensemble des centres de ces cercles.
	
Exercice 6  On considère un demi-cercle de diamètre [AB] et de rayon R. On construit les cordes [AC] et [CD] respectivement égales au côté du carré inscrit et au côté de l’hexagone régulier inscrit dans le cercle de rayon R. A, C, D et B sont dans cet ordre sur le demi-cercle.
	1°) Calculer les longueurs BD et AD en fonction de R.
	2°) Calculer l’angle ADC.  3°) Calculer l’aire du quadrilatère (ABDC).
   	
Exercice 7  On considère un triangle (ABC) ; E est le symétrique de A par rapport à B ; D est le symétrique de A par rapport à C ; M désigne le milieu de [BD] et N celui de [CE].
	Les droites (AM) et (BC) se coupent en P ; les droites (AN) et  (BC) se coupent en Q. I désigne le milieu de [CD] et J le milieu de [BE].
	Montrer, en utilisant une homothétie, que I, M, N et J sont alignés.

Exercice 8  Soit (ABC) un triangle direct (cela veut dire de A vers B, de B vers C dans le sens direct).On construit les carrés (ABDE) et (ACFG) extérieurement à (ABC).
	Prouver que les droites (	EC) et (BG) sont perpendiculaires .  (Penser à utiliser la rotation de centre A et d’angle ).

Exercice 9  Soit un repère orthonormal direct . On considère la rotation r de centre O et d’angle , les points A(1 ;2)   B(-1 ;-1) et I le milieu de [AB].Déterminer les coordonnées de A’=r(A), B’=r(B) et I’=r(I).

Exercice 10 On considère un parallélépipède (ABCDA’B’C’D’) (chaque face est un parallélogramme) et G le centre de gravité du triangle (A’BD). Montrer que G appartient à (AC’) et que AG=AC’.

1ère S vers Tale S Feuille 2
Exercice 1  Soit (ABC) un triangle du plan (P). Déterminer l’ensemble des points M du plan (P) tels que
  	.
	  
Exercice 2  Soit r la rotation de centre O et d’angle .  Soit A un point quelconque . Construire un point M tel que A soit le milieu de [ MM’], où M’=r(M).

Exercice 3  	On considère la suite réelle U définie par et par la relation  pour tout n entier naturel. Soit V la suite définie par .
	1°) Montrer que la suite V est une suite géométrique. Calculer en fonction de n.
	2°) En déduire le terme général en fonction de n (calculer ). Quelle est la limite de la suite U quand n tend vers l’infini ?
	3°) Déterminer le plus petit entier tel que : pour tout n, , on ait .

Exercice 4  Les questions sont indépendantes.
	1°) On considère la suite	pour tout n entier naturel, définie par =0 et pour tout nIN Montrer que est une suite arithmétique.
	2°) Déterminer la raison et le premier termede la suite géométrique décroissante  sachant que  et .

Exercice 5  On définit les suites réelles  et  par  et .
	1°) Montrer que, pour tout n0 on a . En déduire la relation pour tout n0.
	2°) Montrer que et en déduire la majoration . Déterminer alors la limite de la suite , puis celle de la suite quand n tend vers l’infini.

 Exercice 6  On considère la suite U définie par si n0 et la suite V définie par .
	1°) Montrer que V est une suite géométrique. Calculer puis en fonction de n.
	      En déduire que , pour tout entier naturel n, on a .
	2°) Montrer que la suite U peut s’écrire sous la forme U=T+W où T est une suite géométrique et W une suite                     arithmétique.
	3°) Calculer  et 
	       En déduire 

Exercice 7  On considère la suite définie par et .
	1°) Montrer que la suite est définie pour tout n de IN.
	2°) Démontrer que pour n1, on a 
	3°) Montrer que, pour tout n, a le même signe que .
	4°) On suppose que .Démontrer que la suite est monotone.
  
1ère S vers Tale S Feuille 3

Exercice 1  On Considère la suite  définie par  et a étant un réel. Soit la suite  définie par .
	1°)  On pose a=2. 
a)	Vérifier que la suite est constante. b)    En déduire que est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme. Exprimer, en fonction de n, et .
        c) En déduire la somme des entiers naturels impairs inférieurs à 100.
 
   2°)  On pose a=4
a)     Vérifier que la suite est une suite géométrique . Exprimer en fonction de n.
b)	Calculer la somme en fonction de n.
c)	En déduire que pour tout n de IN : . Montrer que est divergente.

Exercice 2	Montrer que les expressions suivantes ont une valeur constante :
	1)          2)   
3)	

Exercice 3  Résoudre dans  ,les équations suivantes et faire figurer les images des solutions sur le cercle trigonométrique
	1)     2)    3)    4) 
	5)         6)     7)    
								(rem :)

Exercice 4	1°) calculer  et    2°) Déterminer sin(3) en fonction de sin()
	3°) utiliser le changement de variable x = sin pour résoudre l’équation 
		(ne pas oublier que c’est x que l’on cherche)

Exercice 5  Résoudre les inéquations suivantes :
	1°)   dans [0 ;2p[ 		2°)    dans [0 ;2p[  	
3°)   dans [0 ;p]	4°)  dans [-p;p]

Exercice 6  On considère l’équation   . (0    )
	Pour quelles valeurs de , cette équation admet-elle deux solutions distinctes ? Quel est alors leur signe ?

Exercice 7	Soit 
	1°) Vérifier que f admet 2p pour période et calculer sa déruvée.
	2°) Etude des variations de f et représentation graphique de f sur [0 ;2p] dans un  repère orthonormal  
        où et le vecteur  tel que    a pour norme 6.

Exercice 8	1°) Factoriser le trinôme .
	2°) Déterminer les réels a et b pour que le polynôme soit divisible par le trinôme .
	3°) Résoudre alors f(x)=0 et f(x)0
1ère S vers Tale S feuille 4

Exercice 1	On considère les deux suites  définies par : pour tout n>0 :

1°) Démontrer que la suite converge vers .
2°) On considère les fonctions f, g, h définies sur [0 ;+[ par : ; ;
      .
a)	En étudiant les variations des fonctions, montrer que chacune d’elle ne prend que des valeurs positives et nulles                   
b)	Montrer que pour tout n1 :.
c)	Montrer que pour tout n1 :
d)	Démontrer que la suite est convergente et préciser sa limite.

Exercice 2   On considère dans le plan P muni d’un repère orthonormal , le cercle () de centre O et de rayon 1.
	    Soit A le point de coordonnées (1 ;0) et A’ le point de coordonnées (-1 ;0).
	1°) Par tout point H du segment  ]AA’[ , on mène la perpendiculaire () à la droite (AA’). La droite () coupe le cercle () en M et M’. On pose . Calculer en fonction de x l’aire du triangle AMM’.
	2°) Soit f la fonction numérique définie sur [-1 ;1] par  et soit (C) sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormal où l’unité de longueur est 4 cm .
a)	Etudier la dérivabilité de f en –1 et en 1. En déduire les tangentes à la courbe (C) aux points d’abscisses –1 et 1.
b)	Dresser le tableau des variations de f ; on y précisera f(0).
c)	Tracer la courbe (C).
3°) Montrer que le triangle AMM’ d’aire maximale est équilatéral.
4°) Justifier que l’équation f(x)=1 admet exactement deux solutions  et  (). Déterminer  et donner ,en justifiant , une valeur approchée par défaut à près de .

 Exercice 3  Dans le plan, on considère le parallélogramme KLMN de centre O. Soit A un point de la droite (KN), distinct     de K et de N ;soit B le point d’intersection des droites (MA) et (LN). P et Q sont respectivement les projetés, parallèlement à la droite (MN) de A sur la droite (KM) et de B sur la droite (LM).
	1°) Faire une figure.
	2°) a)    On note h l’homothétie de centre K et de rapport . Démontrer que h(M)=P. En déduire que le milieu I du segment [AP] appartient à la droite (KL).
b)	Indiquer l’homothétie qui permettrait de démontrer que le milieu J du segment [BQ] appartient à la droite (KL).
3°) Justifier que les points N,P,Q sont les images respectives des points M,A,B  par une symétrie dont on précisera l’axe et la direction. En déduire que les points N,P,Q sont alignés.

Exercice 4   On considère dans le plan orienté un triangle ABC. Soit G le barycentre du système {(A,3),(B,1),(C,1)} ;Q est le barycentre du système {(A,3),(C ,1)} ;R est le barycentre du système {(A,3),(B,1)}.
	1°) Démontrer que les droites (BQ) et (CR) passent par G.
	2°) Soit P le milieu de [BC]. Démontrer que les points A,P,G sont alignés. Exprimer en fonction de .
	3°) Soit E l’ensemble des points M du plan tels que (MB) soit perpendiculaire à (MC) .Quelle est la nature de E. On suppose B et C fixes et que le point A décrit l’ensemble E. Déterminer l’ensemble E’ décrit par G.

1ère S vers Tale S Feuille 5  
 Exercice 1 Dans le plan on considère un triangle ABC rectangle en A. Soit a un réel strictement positif. On suppose AB=a et AC=2a. Soit I le milieu de [AC].
	1°) Soit J le barycentre de {(A,3),(C ,-1)}. Montrer que A est le milieu de [IJ].
	2°) Déterminer le point G barycentre des points A,B,C affectés des coefficients 3 ;2 ;-1.
	3°) Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que 
			(remarque : I est élément de cet ensemble). 

AIDE POUR LE TRAVAIL DE 1ère S vers TERMINALE S
FEUILLE 1 ex 1 : 1°) On trouve   2°) On trouve   
3°) Etudier le signe de d(x)=f(x)-g(x)
  ex 2 : 2°) a)On trouve =4-2m et on étudie le signe de   b) x’ et x’’ de signes contraire ssi produit <0
	3°) équation de .On cherche l’équation qui donne les abscisses des ponts d’intersection  de  et C. On trouve =4(m-1)(m-4).
  ex 3 : 4°) pour PC il y a une racine évidente x=2.
  ex 4 : a) pour penser à l’expression conjuguée . :y=ax+b est asymptote oblique en  ssi 
	b)  c) T :
 ex 5 : 1°)a=2 b=-1 c=1   2°) Montrer que (C) représente une fonction paire dans le repère d’origine  ou bien comparer   3°)    4°) utiliser le 1°)
FEUILLE 2 ex 1 : Rappel 
                      ex 2 : est asymptote oblique ssi 
                      ex 3 : 3°) si J est milieu de [IK]  alors I,J,K sont alignés.
	4°) IJML est un parallélogramme ssi . SI G est le centre du parallélogramme on a alors . Et en utilisant les hypothèses précédentes on arrive à 
                      ex 4 : Pour le 2ème : on utilise 3 fois l’égalité obtenue au 1°)b   (MI= médiane issue de M car I représente le milieu de [AB] )
                      ex 5 : 2°) on utilise le début de l’identité remarquable : on trouve l’équation  puis on étudie le signe de .
                      ex 6 : 1°) faire un schéma. Indiquer les angles puis utiliser les relations métriques dans un triangle rectangle bien choisi . On trouve  et .	3°) on pourra calculer l’aire du quadrilatère ABDC en décomposant cette aire en somme d’aires de figures plus simples.
                      ex 7 : Il faut montrer que   .On peut alors utiliser l’homothétie de centre A et de rapport  et on sait que l’image d’une droite par une homothétie est une droite.
                      ex 8 : calculer r(E) ; r(C)  et utiliser la propriété : l’image d’une droite par une rotation est une droite , et l’angle entre  ces deux droites est l’angle de la rotation. Conclure.
                      
                      ex  9 : on a  et OA=OA’. Traduire analytiquement ces  deux conditions.
	L’image par une rotation du milieu d’un bipoint est le milieux des images.
                      ex 10 : G est centre de gravité du triangle A’BD ssi .En déduire alors  ….

1ère S vers Tale S Feuille 6
FEUILLE 3  ex 1 : On utilise le barycentre de {(A ,2)(B,1)(C,1)} et le barycentre de {(B,1)(C,1)}.
                       ex 2 : Analyser le problème en utilisant un schéma vérifiant la propriété .Expliquer la construction à partir du point O et du point A. Ce sont les seuls points connus.
                       ex 3 : 1°) il suffit de montrer que . Rappel 
	 2°) on trouve . 
3°) on a  donc 	 
ex 4 : 1°) lien entre On arrive à montrer que puis former 
          2°) .On trouve ainsi puis q , puis .
ex 5 : pour calculer il faut calculer en fonction de .
ex 6 : 1°) on trouve .  2°) on a 

	  3°) utiliser la somme des termes d’une suite géométrique et d’une suite arithmétique. 
ex 7 : 1°) la suite existe ssi (à faire par récurrence)  2°) à faire par récurrence
	 3°) il faut montrer que (on utilise l’expression conjuguée puis on peut conclure en utilisant le 2°).
	 4°) vu le 3° il suffit de montrer que . On aura alors le signe de …
FEUILLE 4   ex 1 : 1°) . 2°) on trouve .
 ex 2 : utiliser les identités remarquables d’ordre 2 et 3 
 ex 3 : 1°) on peut utiliser  et 
	  4°) penser aux formules d’addition.    5°) on peut poser X=tanx.
	  7°) on peut poser X=sinx et calculer .
 ex 4 : 1°) calculer  puis utiliser sin(a-b)  2°) sin(3)=sin(2) et utiliser sin(a+b).
 ex 5 : 1°) et 2°) utiliser le cercle trigonométrique.  3°) sin(2x)=….et factoriser. 4°) poser X=cosx
 ex 6 : Attention : l’inconnue est x. Calculer  ; on trouve =12(2cos-1) puis étudier le signe de .
 ex 8 : f(x) est divisible par (x+3)(x-4)f(x) est divisible par (x+3) et (x-4).
	  f(x) est divisible par (x-)   est une racine de f(x).
FEUILLE 5   ex 1 : 1°) rappel  car somme des termes d’une suite arithmétique. Et mettre en facteur dans .
	 2°)a) f est croissante  (étudier le signe de f ’(x)) et f est définie sur [0 ;+[. Or f(0)=0 donc x, f(x)0.
	        On remarque que g’(x)=f(x).   
                        b) Montrer que  et conclure
                     c) Utiliser le a et b.
                     d) on a  

aide pour 1ère S vers Tale S

FEUILLE 5 ex 2 :1°) faire un schéma.. 
	          (M cercle de centre O et de rayon 1)  On trouve .
	           2°) a) dérivabilité en –1 : il faut étudier    b)  .
	           3°) Aire du triangle =f(x) donc aire maximale ssi x=-0.5 d’après le 2°)

ex 3 : 2°) il faut utiliser les propriétés : l’image par une homothétie d’une droite est une droite ;l’image par une          homothétie du milieu est le milieu des images.
ex 4 : on utilisera l’associativité dans le calcul du barycentre.

FEUILLE 6  ex 1 : on utilise le barycentre G de {(A,3),(B,2)(C,-1)} et on transforme 
	On factorise , on calcule AG,BG,CG et on termine !.                

aide pour 1ère S vers Tale S